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\begin{document}

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\def\chntoday{\the\year~年~\the\month~月~\the\day~日}

\renewcommand\figurename{图}\renewcommand\tablename{表}
\renewcommand{\refname}{参考文献}
\renewcommand\abstractname{\bf\large 摘~~要}
\newtheorem{algo}{算法}

\title{最优化方法课程上机作业(一)}
\author{叶时炜}
\date{\chntoday}
\maketitle

\begin{abstract}
Newton型方法的有效性。
\begin{enumerate}
  \item 编写线搜索的程序。
  \item 编写阻尼Newton、修正Newton方法的程序。
  \item 编写SR1, BFGS, DFP的程序。
\end{enumerate}
比较这些方法的有效性，分析方法的特点。
\end{abstract}

\section{问题}

Newton型方法的有效性。
\begin{enumerate}
  \item 编写线搜索的程序。
  \item 编写阻尼Newton、修正Newton方法的程序。
  \item 编写SR1, BFGS, DFP的程序。
\end{enumerate}
比较这些方法的有效性，分析方法的特点。
选择的检验函数见《优化检验题目》与《案例》
\begin{enumerate}
  \item Watsen函数，$n=2, 10, 20, 31$. 
  \item Discrete Boundary Value函数, $n =4, 20，40，60$。
  \item Biggs EXP6 函数，$m=6, 10, 20, 30, 50 $.
  \item 用案例2的神经网络方法建立优化问题，用拟牛顿方法求解微分方程
    \begin{displaymath}
      \frac{dy}{dx}=x^3-\frac{y}{x},y(1)=\frac{2}{5}
    \end{displaymath}
    初始点可选$(1,\dots,1)$, 在区间$[1,2]$中，选离散点为$1,1.5,2$.将结果与精确解
    $y(x)=\frac{x^4}{5}+\frac{1}{5x}$比较. 
  \item 其他题目可任选。 
\end{enumerate}

\section{算法说明}


\subsection{基本Newton方法}
$f(x)$在$x_k$附近二阶Taylor展开为：
\begin{displaymath}
  f(x_k+d)=f_k+g_k^Td+\frac{1}{2}d^tG_kd
\end{displaymath}
定义Newton方程：
\begin{displaymath}
  G_kd=-g_k
\end{displaymath}
由Newton方程解得的$d_k$被称为Newton方向。

\begin{algo}[基本Newton方法].\\

  \begin{description}
    \item{Step 1:} Set $x_0$, $\varepsilon$, $k:=0$
    \item{Step 2:} If $\lVert g_k \rVert \leq \varepsilon$, print, quit.
      
  \end{description}
\end{algo}
%\subsection{阻尼Newton方法}



%\begin{figure}[h!]\centering
%\includegraphics[width=14cm]{../L-infinity-convegence-order-of-lax-wendrof.eps}
%\caption{网格大小与$L^{\infty}$误差的双对数图}\label{liu}
%\end{figure}

\begin{thebibliography}{99}
% adaptive
\bibitem{thz01}
高立，《数值最优化方法》，2011
\end{thebibliography}

\end{document}
